*
ИЗПОЛЗВАНЕ НА МАТЕМАТИЧЕСКО МОДЕЛИРАНЕ ПРИ ПРОИЗВОДСТВО НА ВИНО И ВИСОКОАЛКОХОЛНИ НАПИТКИ
 
инж. Боян М. Борисов
/ консултант-технолог /
Целенасочената дейност, която винаги е съпътствала човека от дълбока древност до днес, налага се вземат определени решения след анализ на множество варианти. Изборът на най-добро решение удовлетворяващо даден критерии за оптималност е свързан с процес на търсене. Задачата за търсене на оптимален резултат от гледна точка на съвременното развитие на науката и техниката съществува при всеки проблем на проектиране, функциониране или управление на обектите (или системите).
Създаването на нови, по-евтини системи от една страна, и повишаване на качеството на съществуващите от друга, днес е почти немислимо без организираните процеси на търсене на най-доброто решение, т.е. на оптимизацията.
Оптимизацията е целенасочена дейност за получаване на най-добър резултат в определен смисъл при определени условия.
Усилията на много математици и инженери през последните години са насочени към създаването на методи и алгоритми за оптимизация, които да решават формулирани по един или друг начин оптимизационни задачи. Така последователно е изградена теорията на оптимизацията. Нейните приложни аспекти са съвкупност от разработени математически и числени методи, алгоритми и програми за ЕИМ. Тези методи позволяват да се определя най-добрия вариант на решение, без да се разглеждат всички възможни, чиито брой в някои случаи клони към без крайност.
Виното и високо алкохолните напитки, разглеждани като сложни многокомпонентни системи, също могат да бъдат обекти на оптимизация. Това важи особено при създаването и поддържането на асортименти, които се получават чрез купажиране на различни партиди.
Оптимизационни задачи

І. Необходими и задължителни предпоставки за осъществяване на оптимизационни задачи.

1. Обект за оптимизация ― Това е много широко понятие в зависимост от областта на целенасочената дейност. Най-общо той може да бъде производствен процес, апарат или някаква система в стадии на проектиране или функциониране. Обект на автоматизация може да бъде и човешката дейност за определен период от време и др.
2. Целева функция ― Това е количествен израз за оценка на състоянието на обекта и за сравнителен анализ между отделните състояния. Целевата функция се определя от поставената цел спрямо обекта. Тя може да бъде техническа (маса, изразходван материал), технологична (добив, състав), икономическа (себестойност, печалба) и смесена техно-икономическа. Най-добрата стойност на целевата функция се нарича минимум или максимум.
3. Управляемост на обекта за оптимизация ― За да се осъществи процесът на търсене на най-добър резултат, обектът трябва да бъде управляем, т.е. да има степени на свобода. Без възможност за внасяне на управляващи въздействия върху обекта не е възможно да се изменя неговото състояние към по-добро в съответния смисъл. За да се осигури управлението на обекта, трябва да има управляващи параметри които могат да се изменят независимо един от друг и с това да се създават множество варианти на състоянието на обекта, от които да се търси най-добрия. Като управляващи параметри при купажирането могат да бъдат количествени и/или качествени показатели на отделните партиди вина участващи в дадения купаж.
4. Метод на оптимизация ― При зададен обект, който е управляем и има формулирана цел, изразена чрез целева функция е необходимо да има метод за търсене и намиране на оптимума. Търсенето трябва да се осъществява в съответствие с определени правила за организирана последователност от действия, която да се дава от метода за оптимизация. Начинът за реализиране на тази последователност се нaрича алгоритъм на оптимизация.

Методът на оптимизация е най-важната предпоставка за решаване на оптимизационните задачи, тъй като той изразява принципната същност на процеса на търсене на най-добрия резултат независимо от характера на обекта за оптимизация и конкретната поставена цел. Методите на оптимизация имат общовалиден характер и само в зависимост от вида на дадения обект и целта може да се избере един от тях. Обикновено не е възможно да се препоръча един единствен метод за решаване на всички оптимизационни задачи, които възникват в практиката. Изборът на конкретния метод се определя от изискванията, характера на обекта и от правилната постановка на оптимизационната задача.

Задължителната последователност на етапите при търсене на оптимално решение е показана на фиг. 1:
Изисквания към обекта

Избор на целева функция

Избор на управляващи параметри
Избор на метод за оптимизация
Оптимално решение

Много важен фактор за решаване на оптимизационни задачи е субективната формулировка на целта ― правилно формулираната цел определя възможността за решаване на задачата.

Крайното решение на една оптимизационна задача е свързано с голям брой междинни решения, от които се избира оптималното. Ето защо друга важна предпоставка при търсене на екстремум е необходимостта от ЕИМ и съответното програмно осигуряване.
По принцип оптимизационното изследване може да се проведе при непосредствено експериментиране с обекта по схемата “Управляващо въздействие ― Резултат ― Ново управляващо въздействие”. На практика обаче тези изследвания се провеждат обикновено на основата на математическо представяне на обекта или системата чрез математичен модел. Въз основа на тази модел се формира целевата функция и критерия за ефективност. Ето защо при по-голяма част от оптимизационните задачи се поставя и изискването за наличие на адекватен на обекта модел.
Математическите модели дават възможност за “числени експерименти” и за най-икономично изучаване влиянието на управляващите параметри върху качеството на съществуващата система или върху критерия за ефективност на проектираната (новата).
Моделирането е особено подходящо при изучаване на сложни системи. През последните няколко години за такива обекти понятието закон се заменя с понятието модел. В съвременната наука понятието модел има най-различни формулировки. Една от тях гласи, че моделът е някаква опростена система, която има материално-веществен или абстрактен характер и отразява само отделни, но важни свойства на изучавания обект наречен “оригинал” (еталон).
В миналото изследователите са използували основно материално-вещественото моделиране, при което моделът се реализира като материален обект. През последните десетилетия все по-широко приложение намират абстрактните математически модели. Основна причина за това е, че при оптимизиране на технологични процеси, оптималното проектиране изисква формализация (т.е. построяване на математически модели) на изследваните обекти.
Математическото моделиране е метод за количествено и качествено описване на процесите и явленията, които протичат в сложните системи, с помощта на математически методи. При него реалните процеси и явления се опростяват, схематизират се по определен начин, и в зависимост от сложността на обекта се описват чрез подходящ математически апарат.

lСпоред естеството на изследователската задача математичните модели могат да се използуват за различни цели.

Главно изискване за добър и съдържателен математичен модел е неговата адекватност:

    • Правилно качествено описание на изучавания обект;
    • Правилно количествено описание с някаква разумна степен на точност;

В изследователската практика се разграничават две основни групи методи за построяване на математически модели - аналитични и експериментални. Моделите, формирани по аналитичен път, притежават голяма степен на общност и могат да се използуват при изучаване на механизма на протичащите явления. При изучаване на сложни системи често пъти по-подходящи се оказват експерименталните методи.

Схематично процесът на моделиране чрез експериментални методи е показан на фиг. 2.:

фиг.2 Етапи при построявяне на модели чрез експериментални методи
ІІ. Обща формулировка на оптимизационните задачи.

Всеки управляем обект се характеризира с параметри, условно наречени входни xn и изходни y. Математическият модел на обекта свързва тези параметри чрез система функции:

(1.1)
Смята се, че моделът е адекватен на обекта, ако при зададени входни параметри xn позволява с краен брой изчисления да се прогнозират изходните с желаната точност.
В групата на входните параметри се включват:
1. Вектор на управляващите параметри:
2. Вектор на конструктивните параметри:
3. Вектор на постоянните параметри:
За създаден (конструиран) обект d са постоянни и се отнасят към . При решаване на оптимизационна задача за оптимално конструиране (създаване), d се разглеждат като управляващи и се отнасят към .
Параметрите x и y могат да бъдат функции на времето.
В структурата на модела се включват: уравнения на материалния баланс; уравнения, които описват процесите в обекта или системата; различни съотношения свързани с проектните условия и наличните ресурси.
Предвид на физическата ограниченост на управляващите параметри в дадена работна област към математичния модел могат да се прибавят техните граници, както и ограничения на различните функционални характеристики на обекта. В такъв случай моделът съдържа цялата необходима информация за оптималното проектиране или подобряване на съществуващата система.
Критерият за оптималност е функция на входните и изходните параметри:
(1.2)
От (1.1) обаче следва, че целевата функция се променя само чрез управляващите параметри, т.е.:
(1.3)

При практическите задачи множеството управляващи параметри xi са ограничени по технологични или други съображения и при варирането им те могат да се изменят само в така нареченото допустимо пространство на управляващите параметри :

, i = 1, 2,..., n (1.4)

или

(1.4a)
В следващото изложение се приема, че ограниченията (1.4), наречени факторни, винаги съществуват, ако не се допуска обратното.
В най-общ вид една оптимизационна задача се дефинира по следния начин. Търси се max на целевата функция:
(1.5)
в пространство определено от:
(1.6)
и наложените ограничения от други функции:
; l = 1, 2, ..., m1 < n
(1.7)
 

; j = 1, 2 , ..., m2

(1.8)
Съотношенията (1.7) се наричат функционални ограничения тип равенство, а (1.8) - ограничения тип неравенство или областни ограничения. В конкретните задачи някои от неравенствата (1.8) могат да бъдат обратни или двустранни.
Задачата е да се намерят такива стойности на управляващите параметри , за които се изпълнява условието:
(1.9)
при спазване на ограниченията (1.6), (1.7), (1.8):
(1.10)
 
; l = 1, 2, ..., m1 < n
(1.11)
 
; j = 1, 2, ..., m2
(1.12)
т.е.
Множеството от точки, които удовлетворяват ограниченията (1.6), (1.7), (1.8), се наричат множество на допустимите решения за целевата функция Q(x) или, за кратност, допустимата област .
В литературата се срещат много формулировки на оптимизационната задача, при които факторните ограничения (1.4) се причисляват към функционалните областни ограничение (1.8).
Оптимизационната задача е без ограничения, когато (1.6), (1.7) и (1.8) отсъствуват. В други случаи могат да бъдат зададени отделни комбинации от ограниченията (1.6) - (1.8).
Когато (1.5), (1.7) и (1.8) са нелинейни функции на х, формулираната задача от (1.5) до (1.12) се нарича нелинейно програмиране (оптимизиране).
Когато целевата функция (1.5) и ограниченията (1.7) и (1.8) са линейни функции на х, оптимизационната задача е линейна или задача на линейно програмиране (оптимизиране).
Ако целевата функция е линейна, а ограниченията нелинейни или обратно, задачите също се причисляват към нелинейна оптимизация - въпреки, че има и други класификации.
В редица случаи критерия за оптималност на технологичните обекти не може да се изрази само с една целева функция, а се представя с множество критерии или така наречения векторен критерий за качеството Q - например добив, цена, физико-химични показатели, цвят и др.
; j = 1, 2, ..., m
(1.13)
Изискванията към всеки критерий Qj (x) са различни и оптималното решение x* не може да удовлетвори максималното. Тогава се формулира така наречената задача на многокритериалната оптимизация (векторна оптимизация, компромисна оптимизация ).
В някои обекти и системи съществува и клас параметри, за които не са известни конкретните им стойности . Тези параметри се наричат параметри с непълна информация. Оптималните решения са при целева функция Q (x, p).

Когато се търси оптимално решение на обект, който е в динамично или много стадийно състояние, оптимизационната задача се дефинира чрез интегрална целева функция:

(1.14)

Задачата се решава с методите на динамичното програмиране или оптималното динамично управление.

ІІІ. Основни трудности при решаване на оптимизационни задачи.

При избора на подходящи методи изследователите се сблъскват с различни трудности. Те могат да се разделят основно на две групи - трудности, които зависят от математическия модел и критерия за оптималност, и трудности свързани с численото решение.
А. Трудности, свързани с математическия модел и критерия за оптималност:

1. Резултатът от решаването на оптимизационната задача трябва да има физически смисъл и да отговаря действително на най-добрите възможности на обекта на оптимизация. Ето защо се изисква модела да е адекватен на обекта.

2. Целевата функция може да бъде слабо чувствителна или обратно - силно чувствителна към измененията на управляващите параметри, при което е трудно да се определи точно екстремумът.

3. Често целевата функция, ограниченията или техните производни са неопределени в дадени точки на допустимата за изследване област.

4. Поради различните измерителни единици на управляващите параметри (температура, концентрации, разходи и др.) целевата функция може да се окаже лошо мащабирана и критерия за оптималност става нечувствителен към изменението на някои от променливите в определени граници.

5. В математичните модели участвуват взаимно независими управляващи параметри, които не могат да се изменят независимо един от друг - например в математическите модели на многокомпонентните системи (симплекс диаграми). Тази трудност може да се отстрани, ако се изразят някои от управляващите параметри чрез други, въз основа на тяхната взаимо свързаност или ако се използват специални методи. В математичните модели понякога има параметри, които са неточно зададени (с непълна информация) - коефиценти. Тези неопределеност създават трудност при определяне на оптимално решение с минимум. За решаването на такива задачи се разработват специални методи.

6. Сложните математически модели на реалните обекти често са трудно диференцируеми или практически е невъзможно да се определят производните на целевите функции аналитично. Това затруднява прилагането на някои високоефективни градиентни методи или изследването на необходимите и достатъчни условия за съществуването на екстремум. Тази трудност се преодолява с разработени неградиентни методи за търсене на екстремум.

Б. Трудности, свързани с численото решение на оптимизационните задачи:

1. Една от най-често срещаните трудности е изборът на числен метод (или на алгоритъм). Това произлиза главно от това, че няма универсални алгоритми, а изследователите не винаги познават методите на оптимизация. Освен това, не винаги е известен видът на целевата функция (оврагова, многоекстремална и др.) за да се избере съответният алгоритъм.

2. Като начало на оптимизационно решение се изисква наличие на начална точка в пространството на управляващите параметри. Точността и скоростта на намиране на решение често зависи от нейния избор. Препоръчва се началото да се избира по априорна информация за процеса или в краен случай по случаен начин.

3. В редица алгоритми за числена оптимизация е необходимо да се задават параметри на стъпките за движение към екстремума и точността за локализация на екстремума (критерия за спиране на търсенето), които създават трудности при избора им. Ето защо трябва внимателно да се анализира желаната точност съобразно дадения обект и да не се задава по-голяма от необходимата, с което може да се усложни решението.

Приложения при производство на вино и високоалкохолни напитки
По литературни данни подобни изследвания за прилагане на оптимизационни методи при производството на вино и високоалкохолни напитки са правени:
    • През 1976 год. в САЩ, Муур и Грифин прилагат линейно оптимизиране за получаване на купажи с определени показатели;
    • През 1979 год. във ВИХВП гр. Пловдив се изследват модели на вина (Тодоринов С. и Геров С.). Моделират се и купажни смеси за бренди (Тодоринов С., Маринов М. и Димитров З.).
Съвременното развитие на електронно-изчислителната техника, масовото навлизане на все по-мощни компютри в производствата, както и все по-усъвършенстваните програмни продукти могат да дадат нов тласък в решаването на оптимизационни задачи за този подотрасъл на хранително-вкусовата промишленост.
Методите на математичното моделиране могат да бъдат използвани за решаване на различни текущи дейности и възникващи проблеми:

1. Егализиране на партиди с цел получаване на нови субпродукти – с изравнени и предварително зададени физико-химични показатели;

2. Създаване на еталон (модел) за определен асортимент;

3. Съставяне на купажи по определен еталон;

4. Съставяне на купаж по предварително зададени цена, определен химичен състав и качество на продукта;

5. Установяване най-ниската цена, при която би могъл да се произвежда даден асортимент от текущото производство при запазване на съответни качествени изисквания;

6. Установяване на максималното количество продукт, което може да се произведе за даден период от време, при налични количествени ресурси и при определени качествени показатели.

7. Оптимизации осигуряващи запазване качествата на дадена марка при налагащи се промени в състава на купажа:

    • елиминиране на някои от първично участвалите партиди – намаляване броя на компонентите;
    • лимитиране на някой суровини (ресурси) – запазване на постоянно количествено участие на някои партиди при промяна на останалите;
    • замяна на някои от партидите.

8. Оползотворяване на партиди с недостатъци (при определени условия!) – ниско/високо съдържание на алкохол, киселини, екстракт, серен двуокис и т.н.

При по-старите разработки обаче, в основата на моделите почти не са залегнали показатели указващи пряко влияние на органолептичната оценка. За да имаме по-пълно доближаване до образа на обекта (в случая вино или ВАН), именно на такива фактори трябва да се обърне основно внимание в бъдещите изследвания.
С цел прецизиране на моделите е добре да се изследват корелативните връзки между физико-химичните показатели и органолептичната оценка. При това да се търси зависимостта между отделните оценки за цвят, аромат, вкус или общо възприятие със съответните групи вещества, които оказват влияние върху тях. Така чрез промяна в ограниченията на физико-химичните показатели ще може по-точно да се предполага някакво специфично качество на крайния продукт.
При решаването на оптимизационни задачи ако не са спазени необходимите изисквания може да се стигне до несъответствия!
Понякога се получава несъвместимост на задачата, т.е. липса на решение.
Такива случаи са възможни и по същество представляват решения, тъй като показват, че зададените условия не могат да бъдат изпълнени при използване на ресурсите, които предвиждаме да участват в купажа.
При такива ситуации може да се постъпи по два нaчинна:
  • за да се използуват същите партиди трябва да се променят поставените ограничаващи условия (в приемливи граници!);
  • за да се запазят същите ограничаващи условия, трябва да се направи смяна на някои партиди или да се използуват други.
След получаване решенията от ЕИМ е желателно да се приготви “лабораторен” купаж, който де се подложи на физико-химичен и органолептичен анализ. Въз основа на получените резултати от дегустационната оценка (независимо от решението на ЕИМ) могат да се наложат допълнителни корeкции в състава на купажа.
За да могат методите на математическото моделиране да се прилагат на практика, при разработване на моделите трябва да се вземе под внимание и факта, че приетата система за оценяване може да не дава пълна картина за отражението на различните съставки върху качеството. За целта е необходимо да се използуват по-специфични методи за органолептичен анализ.
В заключение може да се каже, че методите на математическото моделиране до голяма степен биха улеснили и подпомогнали не само работата на технологичните екипи, но и на управляващите звена в следното:
  • Да се сведе до минимум огромния брой от възможни комбинации и решения свързани с производството на дадена напитка;
  • “Прогнозиране на резултат” – с помощта на решаване на оптимизационни задачи могат предварително да бъдат елиминирани множество нежелани крайни резултати, които в нормалната практика се установяват едва след значителни разходи на време и средства;
  • Поддържане на оптимално качество на крайния продукт при различни налични суровини;
  • Поддържане на оптимални цени за крайния продукт при различни суровини;
  • Оптимизиране на отношението “Цена – Качество – Количество” и обратно (“Количество – Качество – Цена”);
  • Оптимизиране разхода на ресурси – “Възможности (налично) – Цена” и обратно;
  • Използване на суровини с недостатъци (при разумни ограничаващи условия).
ЛИТЕРАТУРА:

1. Форсайт Дж., Малкълм М., Молър К., Компютърни методи за математически пресмятания, Наука и изкуство, София, 1986.

2. Митков А., Минков Д., Статистически методи за изследване и оптимизиране на селскостопанска техника, част I, Земиздат, София, 1989.

3. Митков А., Минков Д., Статистически методи за изследване и оптимизиране на селскостопанска техника, част ІI, Земиздат, София, 1993.

4. Огородник С. Т., Каракозова Е. В., Шольц Е. П., Оценка качества белых столовых вин, Садоводство, виноградство и виноделие Молдавии, 1984, -2, 47 ÷ 48.

5. Стефанов С., Професионалния компютър в помощ на инженер-технолога, Лозарство и винарство, кн.3, 1988.

6. Стоянов С., Оптимизация на технологични обекти, Техника, София, 1983.

7. Стоянов С. К., Методи и алгоритми на оптимизация, Техника, София, 1990.

8. Тодоринов С. А., Геров С. И. и колектив, Математико-статистическо изследване и моделиране на купажи от вина, НИС, ВИХВП, Плодив, 1979.

9. Тодоринов С. А., Маринов М., Димитров З., Моделиране на купажни смеси за бренди Поморие, Плиска, Слънчев бряг, Плиска-Ахелой, НИС, ВИХВП, Пловдив, 1979.

10. Moore D. B. and T. G. Griffin, Computer Blending Technology, American Journal of Enology and Viticulture, vol.29, -1,1978

ПРИМЕР ЗА ОПТИМИЗАЦИОННА ЗАДАЧА
(Линейно програмиране – Двоен симплекс метод)

1. Целева функция – например “цена”:

2. Ограничаващи условия – физико-химични показатели: алкохол, захари, титруеми киселини, екстракт, общи фенолни съединения, висши алкохоли, естери, алдехиди и др.:

където:
х - Партида (суровина);
i = 1, 2, …, n - Брой на партидите в купажа;
ai , …, mi - Физико-химични показатели на партида;
a , …, m - Долни граници на физико-химични показатели;
a’ , …, m’ - Горни граници на физико-химични показатели;

3. Количествени ограничения (условия) – литри или проценти:

където:
х – Партида (суровина);
k– Min количество на участие;
k’ – Max количество на участие;
i = 1, 2, …, n – Брой на партидите в купажа;